Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3

г.Красный Кут Саратовской области

Проект на тему «Фигурные числа»

Выполнили ученицы 8 «А» класса
МОУ-СОШ №3 г.Красный Кут Саратовской области
Богданович Юлия
Каракулова Алина
Руководитель: Родыгина Л.Н.

Содержание:
стр.

1. Введение…………………………………………………………….. 3
2. Исторический очерк………………………………………………... 4

3. Фигурные числа…………………………………………………….
3.1. Классические многоугольные числа………………………… 5

3.2.Треугольные числа…………………………………………….. 5-7

3.3.Квадратные числа……………………………………………… 7-8

3.4. Квадратно – треугольные числа ………………………………. 8

5. Пятиугольные числа и прямоугольные числа………………. 9
4. 3.6. Пирамидальные числа………………………………………… 9
   Заключение…………………………………………………………. 10
5. Используемая литература………………………………………….. 11

1. Введение.

В своей исследовательской работе мы рассмотрели использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Фигу́рные числа — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно, с понятием фигурного числа связано выражение «возвести число в квадрат или в куб». Нам стало интересно, а знают ли другие школьники о фигурных числах. Поэтому мы провели опрос, на вопросы которой ответили … учеников … классов.

Гипотеза: «Знания лишь тем открываются, кто с разными числами знается!»  Пифагор

Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурное число и выявить его роль в нашей жизни.

Задачи:

1. Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной теме и проанализировать его.
2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их применение в жизни человека.

2.Исторический очерк.

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение m-угольного числа {\displaystyle P_{n}} как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна {\displaystyle m-2}. Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1637) так называемую «золотую теорему»:

• Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
• Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов);
• Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел;
• и т. д.

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.

3. Фигурные числа

3.1. Классические многоугольные числа

Определение и общий вид

Общее определение^]:

Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда {\displaystyle 1+2+3+4\dots }, а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд {\displaystyle 1+3+5+7\dots }.

Последовательность k-угольных чисел имеет вид:

{\displaystyle 1,k,3k-3,6k-8,10k-15,15k-24,21k-35,28k-48,36k-63,45k-80\dots n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}\dots } Другие варианты общего формата представления n-го элемента:

3.2. Треугольные числа

Треугольные числа – это те, которые можно уложить точками в треугольник так, чтобы точки соседних рядов нет лежала друг под другом. Простейшими из фигурных чисел являются треугольные числа: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36...  Треугольные числа можно изображать в виде точек на сторонах треугольника.

Таблица нахождения треугольного числа:В равностороннем треугольнике АВС, сторона которого равна 1, сумма всех сторон равна трем, об этом говоря три точки, размещенные в вершинах треугольника. Удлинив стороны АВ и АС в два, три, четыре и т.д. раза и соединив концы сторон, получим новые равносторонние треугольники с периметрами, соответственно равными 6, 10 и т. д.
Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, …, {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

Свойства:

• Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
• Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

3.3. Квадратные числа

Квадратные числа – это те числа, которые можно уложить в квадрат точками так, чтобы точки находились друг под другом.

Квадратное число получается, если какое – нибудь число возвести в квадрат. Таким образом n-е число в ряду квадратных чисел есть n². Ещё в древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры.

Вот формула вычисления квадратных чисел: n + n(n - 1).

Квадратные числа можно представить в виде точек, изображающих число единичных квадратов, содержащихся в разных других квадратах, т.е. соответствующую площадь.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961,1024,1089,1156,1225,1296,1369,1444,1521,1600,1681,1764,1849,1936,2025,2116,2209,2304,2401,2500, ….Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

3.4. Квадратно – треугольные числа

• – треугольные числа – это пересечение квадратных чисел с треугольными числами. – треугольные числа называются числа ряда: 15, 36... Один из видных древнегреческих математиков – Диофант, живший в III веке нашей эры, нашел формулу, связывающую треугольные числа с квадратными. Вот эта формула: К = 8∙Т + 1. – треугольное число можно получить, если любое треугольное число умножить на 8 и полученному произведению прибавить 1, то получится квадратное число. Например: если обозначить любое треугольное число буквой Т, то 8Т + 1 будет некоторым квадратным числом К. Например, умножая треугольное число 6 на 8 и складывая произведение 48 с 1, получаем 49, являющееся квадратным.

3.5. Пятиугольные числа и прямоугольные числа

Пятиугольные числа – это те числа, которые можно уложить точками в пятиугольник, так чтобы внутри фигуры получились треугольники.

• числами называются числа ряда: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70.... Чтобы сосчитать n – е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется ещё n точек. В результате получаем, что n – е пятиугольное число равно

• Прямоугольные числа – это те числа, которые точками можно уложить в прямоугольник.

Например, для числа 12 это можно сделать многими способами (см. рисунок), а для числа 13 – лишь расположив все предметы в одну линию. Прямоугольными числами являются все составные числа, а непрямоугольными – простые числа.

3.6. Пирамидальные числа

Пирамидальные числа – это те числа, которые можно уложить в виде пирамиды.

К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать, пирамидой, как раньше складывались ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n – е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел – от первого до n- го.

4.Заключение

В процессе работы по данной проблеме мы добились цели, поставленной в начале исследования: изучили и исследовали фигурные числа - одно из понятий математики. Подводя итог работы, пришли к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них. Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

• При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей – длины и ширины.
• При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей – длины, ширины и высоты.
• Упаковка конфет в форме линейного числа
• На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа).
• Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа.

• Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах.
• Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости.

Мы согласны с высказыванием великого математика П. С. Лапласа, который сказал что: «Мысль выражать числа десятью знаками настолько простая, что трудно понять, насколько она удивительна.»

5.Литература:

1. Альхова З. Н, Макеева А.В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: «Лицей», 2001 год.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителя. – Москва: «Просвещение», 1981 год.
3. Дорофеев Г. В, Шарыгин И. Ф. математика: учебник для 5 классов. – Москва: « Просвещение», 2015 год.

4. Журнал «Первое сентября» «Математика» №13, 2008 год. 5. Интернет - ресурсы. 6. Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. Математическая шкатулка. Пособие для учащихся. – 5 – е издание. – Москва: «Просвещение», 1998 год.